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Examen

Teorema fundamental del calculo

Integral indefinida

La parte medular para encontrar integrales definidas, es encontrando una función que al derivarla nos dé el integrando.
Si g es una función tal que g'(x) = f(x), diremos que es una PRIMITIVA para f y a la expresión f(x) + k le llamaremos LA INTEGRAL INDEFINIDA DE f, y la denotaremos por 

Observación. Nótese que al escribir la integral indefinida escribimos la variable x tanto en el integrando como en la primitiva, en virtud de no existir confusión, debido a que no se escriben los límites de integración.
Tomando en cuenta que la derivada y la integral son operaciones inversas, de cualquier fórmula de derivación, podemos extraer una fórmula de integración, simplemente invirtiéndola, por ejemplo: 

En este último ejemplo, debemos hacer unas precisiones. La función f(x) =1/x está definida para todo x ≠ 0, sin embargo la función g(x) = lnx sólo está definida para los positivos. ¿Cómo obtener por ejemplo la integral de g en el intervalo [-3, -1] si el logaritmo natural no está definido para los números negativos?.
Primeramente calcularemos la integral en el intervalo [1,3] y por la simetría de f(x) =1/x, la integral en el intervalo [-3, -1] será el negativo de ésta, como se aprecia en la siguiente ilustración.

Observación. Al utilizar el corolario al T.F.C. debe tenerse cuidado de verificar las condiciones bajo las cuales se cumple dicho teorema, por ejemplo, es fácil caer en el siguiente error si no se tiene este cuidado:

Esta expresión no tiene sentido ya que la función no es acotada en el intervalo de integración y por lo tanto no tendría sentido el cálculo de las sumas superiores o inferiores en un intervalo de la partición que contenga al cero. La función en cuestión no es integrable en [-3,2]. 

Teorema fundamental del calculo

Corolario Al Teorema fundamental del calculo

Si f:[a,b]→R integrable es continua en el intervalo [a, b] y g:[a,b]→R, es una antiderivada de f, es decir satisface g'(x) = f(x) , entonces: 

Demostración. La prueba de este resultado consiste en dar los mismos pasos que en los
casos particulares 

Para determinar la constante evaluamos en x = a en las dos expresiones para G(x)

Ejemplo:    Utilizando el corolario al TFC, encuentre

 

Solución. Sólo hay que encontrar una función g que satisfaga g'(x) = x3 

Teorema Fundamental del calculo

Calculo de integrales definidas mediante el Teorema Fundamental del calculo 

Ejemplo1. Utilizando el T.F.C., encuentre

Solución: En el cálculo de integrales por este método, realizaremos los siguientes cuatropasos: 

1.- Consideramos a la integral como funcion del extremo superior.

Y posteriormente tratar de encontrar una expresión "más operativa" para G(x), pues la integral buscada es G(3). 

2.- Utilizamos el T.F.C

Por el T.F.C., G'(x ) = x3 , para todo xo ∈ [2, 3], lo cual lo escribiremos genéricamente como G'(x) = x3 , es decir este Teorema nos da información sobre la derivada de la x4/4 es una funcion cuya deriva es x3, Pero en general a la deriva no se altera si le sumamos una constante arbitraria.

Lo cual salvo la constante por determinar, nos da una expresión "más operativa" para G(x).    

3.-Determinamos la constante

Nótese que tenemos dos expresiones para G(x):

4.-Evaluamos G(3) para obtener la integral.

Una vez determinada la constante de integración k, queda completamente determinada la expresión para G: 

En consecuencia:

Teorema fundamental del calculo

Si f:[a, b] → R integrable es continua en xo ∈ [a, b], entonces

                x

G(x)=∫ f(t)dt a    

es derivable en xo y G '(xo) = f(xo).

En notación de Leibnitz podemos expresar el resultado de este teorema como 

Que de una manera más clara muestra la relación, entre la Derivada y la Integral, como operaciones inversas

Demostración.

h > 0: 

Por el teorema del valor medio para integrales en el intervalo [xo, xo+h], tenemos que

Teorema fundamental del calculo

La Integral como función del extremo superior

Cada una de las formulas generales obtenidas puede considerarse como una funcion de la variable x y por lo tanto es susceptible de analizarse con las herramientas del Cálculo Diferencial, como la continuidad, límites, derivación, etc. 

Se puede observar que cada una de estas funciones es que son continuas, derivables y además la derivada de cada una, es la función que se está integrando, es decir, 

Si le llamamos G(x) a la integral y f(t) al integrando, para estas integrales se cumple:

Teorema fundamental del calculo

Introduccion: 

Es un importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral.

Formulas para áreas integrales

Es posible deducir ciertas fórmulas para predecir las áreas, por medio de las cuales se puede determinar del área de cualquier región bajo una curva fácil y rápidamente.

Ejemplo: 

Utilizando sumas superiores encuentre

∫x t 2 dt,para x > 0

Solución: Se divide el intervalo [0, x] en n partes iguales, cada una de longitud x/n.

Sobre cada uno de los subintervalos determinado por esta partición, tomamos como altura la imagen del extremo derecho, por ser creciente la función. 

Es decir

Notación sigma