Teorema fundamental del calculo

Integral indefinida

La parte medular para encontrar integrales definidas, es encontrando una función que al derivarla nos dé el integrando.
Si g es una función tal que g'(x) = f(x), diremos que es una PRIMITIVA para f y a la expresión f(x) + k le llamaremos LA INTEGRAL INDEFINIDA DE f, y la denotaremos por 

Observación. Nótese que al escribir la integral indefinida escribimos la variable x tanto en el integrando como en la primitiva, en virtud de no existir confusión, debido a que no se escriben los límites de integración.
Tomando en cuenta que la derivada y la integral son operaciones inversas, de cualquier fórmula de derivación, podemos extraer una fórmula de integración, simplemente invirtiéndola, por ejemplo: 

En este último ejemplo, debemos hacer unas precisiones. La función f(x) =1/x está definida para todo x ≠ 0, sin embargo la función g(x) = lnx sólo está definida para los positivos. ¿Cómo obtener por ejemplo la integral de g en el intervalo [-3, -1] si el logaritmo natural no está definido para los números negativos?.
Primeramente calcularemos la integral en el intervalo [1,3] y por la simetría de f(x) =1/x, la integral en el intervalo [-3, -1] será el negativo de ésta, como se aprecia en la siguiente ilustración.

Observación. Al utilizar el corolario al T.F.C. debe tenerse cuidado de verificar las condiciones bajo las cuales se cumple dicho teorema, por ejemplo, es fácil caer en el siguiente error si no se tiene este cuidado:

Esta expresión no tiene sentido ya que la función no es acotada en el intervalo de integración y por lo tanto no tendría sentido el cálculo de las sumas superiores o inferiores en un intervalo de la partición que contenga al cero. La función en cuestión no es integrable en [-3,2].